09. Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων

1.1 Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων

1.1.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Πρόσθεση Ομωνύμων: Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα (ίδιος παρονομαστής), προσθέτουμε τους αριθμητές τους και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.

\[\frac{a}{\gamma}+\frac{\beta}{\gamma}=\frac{a + \beta}{\gamma}\]

  • Πρόσθεση Ετερωνύμων: Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα (χρησιμοποιώντας το ΕΚΠ των παρονομαστών) και μετά προσθέτουμε τους νέους αριθμητές.

  • Αφαίρεση: Η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης. Για να αφαιρέσουμε κλάσματα (ομώνυμα ή ετερώνυμα), ακολουθούμε την ίδια λογική με την πρόσθεση, αφαιρώντας τους αριθμητές.

\[\frac{a}{\gamma}-\frac{\beta}{\gamma}=\frac{a - \beta}{\gamma}\]

  • Μεικτοί Αριθμοί: Οι μεικτοί αριθμοί (άθροισμα ακεραίου και κλάσματος μικρότερου της μονάδας) συνήθως τρέπονται σε κλάσματα πριν την εκτέλεση των πράξεων.

\[3\frac{2}{5}=\frac{17}{5}\]

1.1.2 Ιδιότητες της Πρόσθεσης

  • Αντιμεταθετική: Η σειρά των προσθετέων δεν αλλάζει το αποτέλεσμα .

\[\frac{a}{β}+\frac{κ}{λ}=\frac{κ}{λ}+\frac{a}{β}\]

  • Προσεταιριστική: Μπορούμε να ομαδοποιούμε τους προσθετέους με διαφορετικούς τρόπους χωρίς να αλλάζει το άθροισμα.

\[\frac{a}{β}+\left(\frac{κ}{λ}+\frac{μ}{ν}\right)=\left(\frac{a}{β}+\frac{κ}{λ}\right)+\frac{μ}{ν}\]

  • Ουδέτερο Στοιχείο: Το μηδέν (0) δεν μεταβάλλει την τιμή ενός κλάσματος όταν προστίθεται σε αυτό.

1.1.3 Παραδείγματα

  1. Ομώνυμα: \(\dfrac{15}{8} + \dfrac{29}{8} + \dfrac{31}{8} = \dfrac{15+29+31}{8} = \dfrac{75}{8}\).

  2. Ετερώνυμα: \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{2}\). Με \(ΕΚΠ(4,6,2)=12\), γίνονται \(\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} + \dfrac{18}{12} = \dfrac{37}{12}\).

  3. Αφαίρεση Ομωνύμων: \(\dfrac{41}{7} - \dfrac{29}{7} - \dfrac{11}{7} = \dfrac{41-29-11}{7} = \dfrac{1}{7}\).

  4. Αφαίρεση Ετερωνύμων: \(\dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{9}\). Με \(ΕΚΠ(3,6,9)=18\), γίνονται \(\dfrac{30}{18} - \dfrac{3}{18} - \dfrac{4}{18} = \dfrac{23}{18}\).

  5. Κλάσμα και Ακέραιος: \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} + 3 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{12}{4} = \dfrac{15}{4}\).

1.1.4 Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε το άθροισμα: \(\dfrac{5}{3} + \dfrac{2}{3}\).

  2. Βρείτε τη διαφορά: \(\dfrac{8}{9} - \dfrac{3}{9}\).

  3. Προσθέστε τα κλάσματα: \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{3}\).

  4. Αφαιρέστε: \(\dfrac{10}{8} - \dfrac{3}{4}\).

  5. Υπολογίστε: \(\dfrac{17}{20} + \dfrac{3}{15}\) και απλοποιήστε.

  6. Μετατρέψτε σε κλάσμα τον μεικτό \(3\dfrac{5}{8}\).

  7. Βρείτε το αποτέλεσμα: \(3 - \dfrac{2}{5}\).

  8. Υπολογίστε: \(\dfrac{16}{20} + \dfrac{3}{10} + 5\).

  9. Λύστε την παράσταση: \(1 - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)\).

  10. Συμπληρώστε το κενό: \(\dfrac{3}{8} + \dots = \dfrac{5}{9}\).

  11. Υπολογίστε: \(\dfrac{11}{13} + \dfrac{2}{13}\).

  12. Βρείτε την τιμή: \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{1}{6}\).

1.2 Επίλυση Σχετικών Προβλημάτων

1.2.1 Θεωρία και Μέθοδος

Η επίλυση προβλημάτων με κλάσματα απαιτεί τον προσδιορισμό του «όλου» και των κλασματικών μερών που προστίθενται ή αφαιρούνται.

Συχνά χρησιμοποιούμε την αναγωγή στη μονάδα ή τη μετατροπή σε ομώνυμα για να συγκρίνουμε ή να συνδυάσουμε διαφορετικά τμήματα.

1.2.2 Παραδείγματα

  1. Κούρεμα Γκαζόν: Ένας κηπουρός κούρεψε το \(\dfrac{1}{2}\) μιας πλατείας την 1η μέρα και το \(\dfrac{1}{3}\) τη 2η.

Συνολικά κούρεψε το \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\) της πλατείας.

  1. Διανομή Χρημάτων: Ο πρώτος αδελφός πήρε τα \(\dfrac{2}{5}\) ενός ποσού και ο δεύτερος \(\dfrac{1}{8}\) λιγότερα από τον πρώτο.

Ο δεύτερος πήρε \(\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{11}{40}\) του ποσού.

  1. Συμπλήρωση Δεξαμενής: Τα \(\dfrac{2}{3}\) μιας δεξαμενής περιέχουν 1440kg λάδι.

Για να γεμίσει, χρειάζεται ακόμα \(\dfrac{1}{3}\) της χωρητικότητας, δηλαδή 720kg.

  1. Διαχείριση Χρόνου: Αν κάποιος αφιερώνει το \(\dfrac{1}{3}\) της ημέρας στον ύπνο και το \(\dfrac{1}{4}\) στο σχολείο, του απομένει

\(1 - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{5}{12}\) της ημέρας.

  1. Επαγγελματικές Υποχρεώσεις: Ένα κατάστημα δίνει \(\dfrac{19}{100}\) του τζίρου για ΦΠΑ, \(\dfrac{1}{50}\) για φόρους και \(\dfrac{2}{5}\) για ενοίκιο.

Το υπόλοιπο μέρος που μένει είναι \(1 - \left(\dfrac{19}{100} + \dfrac{2}{100} + \dfrac{40}{100}\right) = \dfrac{39}{100}\).

1.2.3 Ασκήσεις

  1. Ένας εργάτης πήρε προκαταβολή το \(\dfrac{1}{2}\) της αμοιβής του (180€). Πόσο είναι το συνολικό ποσό που θα λάβει;

  2. Από μια διαδρομή 80km, ένας ποδηλάτης διένυσε τα \(\dfrac{3}{8}\). Πόσα km του απομένουν;

  3. Σε ένα σχολείο 252 μαθητών, τα \(\dfrac{5}{9}\) είναι αγόρια. Πόσα είναι τα κορίτσια;

  4. Ο Κώστας ήπιε τα \(\dfrac{2}{3}\) ενός αναψυκτικού \(1\dfrac{1}{2}\) λίτρου. Πόσο αναψυκτικό ήπιε;

  5. Ένα βαρέλι έχει 200 κιλά κρασί. Αφαιρούμε το \(\dfrac{1}{4}\) και μετά το \(\dfrac{1}{2}\). Πόσο έμεινε;

  6. Ποιο κλάσμα πρέπει να προσθέσουμε στο \(\dfrac{3}{8}\) για να βρούμε άθροισμα \(\dfrac{5}{9}\);

  7. Αν η διαφορά δύο κλασμάτων είναι \(\dfrac{13}{15}\) και το ένα είναι το \(\dfrac{1}{5}\), βρείτε το άλλο.

  8. Βρείτε δύο ομώνυμα κλάσματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου και το άθροισμά τους είναι \(\dfrac{9}{7}\).

  9. Ένα πλοίο διένυσε τα \(\dfrac{3}{5}\) μιας απόστασης σε 4 ώρες. Σε πόσες ώρες θα διανύσει το υπόλοιπο;

  10. Μια δεξαμενή 3000 λίτρων γεμίζει από δύο βρύσες. Η μία γεμίζει το \(\dfrac{1}{4}\) σε μια ώρα και η άλλη το \(\dfrac{1}{5}\). Τι μέρος γεμίζει σε μία ώρα και οι δύο μαζί;.

  11. Ένας αγρότης πούλησε τα \(\dfrac{2}{5}\) της σοδειάς του σε έναν έμπορο και το \(\dfrac{1}{3}\) σε άλλον. Τι μέρος της σοδειάς του έμεινε;.

  12. Από ένα ποσό 20.000€, δόθηκαν τα \(\dfrac{2}{5}\) για χρέη και τα \(\dfrac{1}{10}\) για έξοδα. Πόσα χρήματα περίσσεψαν;.

1.3 Ασκήσεων …. συνέχεια

Λυμένες Ασκήσεις

  1. Κάντε την πρόσθεση \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\).

Λύση: \(\dfrac{(2+1)}{5} = \dfrac{3}{5}\).

  1. Κάντε την αφαίρεση \(\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5}\).

Λύση: \(\dfrac{(3-1)}{5} = \dfrac{2}{5}\).

  1. Κάντε την πρόσθεση \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{8}\).

Λύση: ΕΚΠ(10,8)=40. \(\dfrac{12}{40} + \dfrac{25}{40} = \dfrac{37}{40}\).

  1. Κάντε την αφαίρεση \(\dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{10}\).

Λύση: \(\dfrac{25}{40} - \dfrac{12}{40} = \dfrac{13}{40}\).

  1. Κάντε την πρόσθεση \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12}\).

Λύση: ΕΚΠ(8,12)=24. \(\frac{(3 \cdot 3)}{24} + \frac{(5 \cdot 2)}{24} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}\).


Άλυτες Ασκήσεις

  1. Κάντε τις προσθέσεις: \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{3}{4}\).

  2. Κάντε τις αφαιρέσεις: \(\dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{9}\) και \(\dfrac{6}{8} - \dfrac{3}{12}\).

  3. Υπολογίστε το άθροισμα: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3}\).

  4. Βρείτε τη διαφορά: \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{3}\).

  5. Η Ιωάννα χρησιμοποίησε \(\dfrac{3}{10}\) κιλού ζάχαρη για ένα γλυκό και \(\dfrac{2}{5}\) για ενα άλλο. Πόση ζάχαρη χρησιμοποίησε συνολικά;

  6. Αν είχε 1 κιλό ζάχαρη, πόση της έμεινε μετά παρασκευή των γλυκών (ασκηση 5);

  7. Ένα συνεργείο κάνει ένα έργο σε 8 ημέρες και ένα άλλο σε 6. Τι μέρος του έργου κάνουν μαζί σε 1 ημέρα; (\(\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{6}\))

  8. Υπολογίστε: \((\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2}) - \dfrac{3}{4}\).

  9. Σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε το \(\dfrac{2}{5}\) για να βρούμε \(\dfrac{4}{7}\);

  10. Υπολογίστε: \(\dfrac{12}{5} - \dfrac{4}{3} - \left(5 - \dfrac{2}{3}\right)\) .

  11. Υπολογίστε την παράσταση (2 Παρενθέσεις) \[\left(5 - \frac{2}{3}\right) + \left(1 + \frac{1}{2}\right)\]

  1. Υπολογίστε την παράσταση (3 Παρενθέσεις)

\[\left(2 + \frac{1}{4}\right) - \left[\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(1 - \frac{3}{4}\right)\right]\]

Λύση

Βήμα 1: Επίλυση της εσωτερικής παρένθεσης \((\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3})\) Κοινός παρονομαστής το 6: \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\).

Βήμα 2: Επίλυση της εσωτερικής παρένθεσης \((1 - \dfrac{3}{4})\) Μετατροπή: \(\dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\).

Βήμα 3: Επίλυση της αγκύλης και της εξωτερικής παρένθεσης Αγκύλη: \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{13}{12}\).

Εξωτερική παρένθεση: \(2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}\).

Βήμα 4: Τελική αφαίρεση \(\dfrac{9}{4} - \dfrac{13}{12} = \dfrac{27}{12} - \dfrac{13}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac{7}{6}\).

Τελική Απάντηση \(\dfrac{7}{6}\) ή \(1 \dfrac{1}{6}\)

  1. Υπολογίστε την παράσταση (4 Παρενθέσεις & Εσωτερικές)

\[\left[\left(3 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\right)\right] - \left[\left(1 + \frac{1}{10}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)\right]\]

Λύση

Βήμα 1: Επίλυση παρενθέσεων πρώτης αγκύλης

……………………………………………….

Άθροισμα: \(\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{25}{10} + \dfrac{6}{10} = \dfrac{31}{10}\).

Βήμα 2: Επίλυση παρενθέσεων δεύτερης αγκύλης

…………………………………………………………..

Αφαίρεση: \(\dfrac{11}{10} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{22}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{17}{20}\).

Βήμα 3: Τελική αφαίρεση

…………………………………………………………

Τελική Απάντηση \(\dfrac{9}{4}\) ή \(2 \dfrac{1}{4}\)

  1. Υπολογίστε την παράσταση (Σύνθετη με πολλαπλές εσωτερικές)

\[4 - \left\{ \left[ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) + \left(2 - \frac{2}{3} \right) \right] - \left(1 + \frac{1}{6} \right) \right\}\]

Λύση

Βήμα 1: Εσωτερικές παρενθέσεις της αγκύλης

…………………………………………..

Άθροισμα αγκύλης: \(1 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{7}{3}\).

Βήμα 2: Η τρίτη παρένθεση \((1 + \dfrac{1}{6}) = \dfrac{7}{6}\).

Βήμα 3: Επίλυση της μεγάλης παρένθεσης (άγκιστρο) \(\dfrac{7}{3} - \dfrac{7}{6} = \dfrac{14}{6} - \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{6}\).

Βήμα 4: Τελική αφαίρεση από τον φυσικό 4 \(4 - \dfrac{7}{6} = \dfrac{24}{6} - \dfrac{7}{6} = \dfrac{17}{6}\).

Τελική Απάντηση \(\dfrac{17}{6}\) ή \(2 \dfrac{5}{6}\)

ΣυμβουλήΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!